实矩阵的共轭复特征值

题目 设矩阵$A \in \mathbb{R}^{3\times3}$ 的特征值为$a+bi,a-bi,c$, 其中$a,b,c\in \mathbb{R},b\ne0,i$是虚数单位.

证明: 存在实可逆矩阵$Q$使得

$$Q^{-1}AQ= \begin{pmatrix} c & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 &-b & a \end{pmatrix}$$

证明:

对于矩阵$A$的一对共轭复根$\lambda = a+bi,\bar{\lambda} = a-bi$, 存在一对共轭复特征向量满足

$$A\eta = \lambda\eta,\qquad\Leftrightarrow\qquad A\bar{\eta} = \bar{\lambda}\bar{\eta}$$

对于$\left( \begin{smallmatrix}a & b \\ -b & a \end{smallmatrix}\right)$有一对共轭复根$a+bi,a-bi$.

计算出$a+bi$的一个特征向量为$\left( \begin{smallmatrix} -i \\ 1 \end{smallmatrix}\right)$, 那么由上面的结论, 其复共轭向量$\left( \begin{smallmatrix} i \\ 1 \end{smallmatrix}\right)$为$a-bi$的特征向量.

于是这两个特征向量构成的可逆矩阵$\left( \begin{smallmatrix} -i & i \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right)$满足

$$\begin{pmatrix} c & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & -b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -i & i \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & 0 & 0 \\ 0 & a+bi & 0 \\ 0 & 0 & a-bi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -i & i \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}$$

记

$$P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -i & i \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & i/2 & 1/2 \\ 0 & -i/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$

由于3阶矩阵$A$有三个不同的特征值, 且两个复共轭, 所以存在可逆矩阵$P = \{p_c,p,\bar{p}\}$, 使得

$$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} c & 0 & 0 \\ 0 & a+bi & 0 \\ 0 & 0 & a-bi \end{pmatrix}$$

其中$p_c,p,\bar{p}$分别是矩阵$A$三个特征值对应的特征向量

于是有

$$(PP_1)^{-1}A(PP_1) = \begin{pmatrix} c & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & -b & a \end{pmatrix}$$

其中$PP_1$是可逆的, 因为$P$和$P_1$都是可逆的, 下面说明$PP_1$可以是实矩阵

令$\{q_1,q_2,q_3\} = PP_1 = \{p_c, i\frac{(p-\bar{p})}{2},\frac{(p+\bar{p})}{2}\}$

由于$p_c$是实矩阵的实特征值对应的特征向量, 所以其元素一定全为实数或者全为虚数, 则$q_1 = p_c$可以为实向量.

而$q_2 = i\frac{(p-\bar{p})}{2}$和$q_3 = \frac{(p+\bar{p})}{2}$分别为$Im(p)$和$Re(p)$, 也是实向量.

所以存在实可逆矩阵$Q = PP_1 = \{p_c,Im(p),Re(p)\}$, 使得题设等式成立, 其中$p_c$是实特征值的特征向量, $Im(p)$和$Re(p)$是一对复共轭特征值对应的特征向量的虚部和实部。

证毕.