一个常微分方程的求解

求解常微分方程 $yy'' = 1+y'^2$在初始条件$y(0) = 1,\ y'(0) = 0$下的特解

解: 设 $y'=p$, 即 $\frac{dy}{dx}=p$, 又由于$\frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}$, 原方程化为

$$yp\frac{dp}{dy} = 1+p^2$$

​ 分离变量

$$p\frac{dp}{1+p^2} = \frac{dy}{y}$$

​ 两边积分

$$\int \frac{p}{1+p^2}dp = \int \frac{1}{y}dy$$

​ 得到

$$\frac{1}{2}\ln(1+p^2) = \ln(y)+c$$

​ 两边同时取对数得到

$$\begin{split} &\sqrt{1+p^2} = e^c\cdot y \\ \text{或者}&y = k\cdot\sqrt{1+p^2}, \qquad k=\frac{1}{e^c} \end{split}$$

​ 带入$y(0) = 1,\ y'(0) = 0$有

$$1 = k\cdot\sqrt{1+0^2}\Rightarrow k=1$$

​ 于是有

$$\begin{split} y = \sqrt{1+p^2}\\ \Leftrightarrow y^2-1 = (\frac{dy}{dx})^2 \\ \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{y^2-1} \\ \Leftrightarrow dx = \pm\frac{dy}{\sqrt{y^2-1}} \end{split}$$

​ 对上述分离变量后的式子积分

$$\begin{split} \int dx = \pm\int \frac{dy}{\sqrt{y^2-1}} \\ \Leftrightarrow x = \pm\ln |y+\sqrt{y^2-1}| + c \end{split}$$

​ 代入$y(0) = 1$

$$0 = \pm\ln|1+\sqrt{1^2-1}| + c \Rightarrow c=0$$

​ 最后得到

$$x = \pm\ln |y+\sqrt{y^2-1}|$$