写在开头

这篇文章并不是在介绍行列式，我希望阅读这篇的朋友并不是第一次接触行列式和空间变换。我写这篇文章是想从空间变换的角度来引入行列式，而并不是像课本上一样直接给出它的定义，并且希望你们可以从这个过程中理解行列式的意义。

空间变换

首先，我们假设在n维空间上有个变换（不一定是线性的），把这个变换设为：

{y1=f1(x1,x2,…,xn)y2=f2(x1,x2,…,xn)…yn=fn(x1,x2,…,xn)\begin{cases} y_1 = f_1 (x_1, x_2, \dots,x_n)\\ y_2 = f_2 (x_1, x_2, \dots,x_n)\\ \dots\\ y_n = f_n (x_1, x_2, \dots,x_n)\\ \end{cases}

可以知道y1,y2,…,yny_1, y_2, \dots,y_n和x1,x2,…,xnx_1,x_2,\dots,x_n微分间的关系为：

dyi=∑j=1n∂fi∂xjdxj, i=1,2,…,ndy_i = \sum_{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_j}dx_j,\ i=1,2,\dots,n

或者可以写成矩阵形式

[dy1dy2⋮dyn]=[∂f1∂x1∂f1∂x2…∂f1∂xn∂f2∂x1∂f2∂x2…∂f2∂xn⋮⋮⋮∂fn∂x1∂fn∂x2…∂fn∂xn][dx1dx2⋮dxn]\begin{bmatrix} dy_1\\ dy_2\\ \vdots \\ dy_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_n}{\partial x_n}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx_1\\ dx_2\\ \vdots \\ dx_n \end{bmatrix}

有向面积和矢量的外积

我们可以把dx1,dx2,…,dxndx_1, dx_2, \dots,dx_n理解成**”矢量微元“，对dx1,dx2,…,dxndx_1, dx_2, \dots,dx_n取外积得到dx1∧dx2∧⋯∧dxndx_1\wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n。而dx1∧dx2∧⋯∧dxndx_1\wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n的意义是n维空间上带方向的”有向面积“**，它的大小是矢量微元dx1,dx2,…,dxndx_1, dx_2, \dots,dx_n构成的n维超体的体积，它的方向由右手法则决定。

（说明一下，这里把dxdx理解成矢量是做了简化，实际上这里应该用微分形式来解释，但微分形式很多教材里面没有涉及，所以暂时不作说明，我想这并不妨碍后文的阅读。）

对于外积我们有两个重要的性质

（1）反称性

x∧y=−y∧xx\wedge y = -y\wedge x

由反称性可以推出

x∧x=0x\wedge x = 0

（2）双线性

x∧(y+z)=x∧y+x∧z(x+y)∧z=x∧z+y∧zλ(x∧y)=(λx)∧y=x∧(λy)x \wedge (y+z) = x\wedge y +x\wedge z \\ (x+y) \wedge z = x\wedge z +y\wedge z \\ \lambda(x\wedge y) = (\lambda x)\wedge y = x \wedge(\lambda y)

行列式的引入

现在我们探讨一下dy1∧dy2∧⋯∧dyndy_1\wedge dy_2 \wedge \dots \wedge dy_n和dx1∧dx2∧⋯∧dxndx_1\wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n之间的关系，将dy1∧dy2∧⋯∧dyndy_1\wedge dy_2 \wedge \dots \wedge dy_n 写开：

dy1∧dy2∧⋯∧dyn=(∑j=1n∂f1∂xjdxj)∧(∑j=1n∂f2∂xjdxj)∧⋯∧(∑j=1n∂fn∂xjdxj)=∑i1,…,in=1n∂f1∂xi1⋅∂f2∂xi2…∂fn∂xin⋅dxi1∧dxi2∧⋯∧dxin\begin{split} dy_1\wedge dy_2 \wedge \dots \wedge dy_n &= \left(\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_1}{\partial x_j}dx_j \right) \wedge \left(\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_2}{\partial x_j}dx_j \right) \wedge \dots \wedge \left(\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_n}{\partial x_j}dx_j \right)\\ &= \sum_{i_1,\dots,i_n=1}^{n} \frac{\partial f_1}{\partial x_{i_1}}\cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_{i_2}}\dots \frac{\partial f_n}{\partial x_{i_n}}\cdot dx_{i_1}\wedge dx_{i_2} \wedge \dots \wedge dx_{i_n} \end{split}

由于

dxi∧dxj=−dxj∧dxi; dxi∧dxi=0dx_i\wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i ;\ dx_i\wedge dx_i =0

所以可以得到

dy1∧dy2∧⋯∧dyn=∑i1≠i2≠…≠in∂f1∂xi1⋅∂f2∂xi2…∂fn∂xin⋅dxi1∧dxi2∧⋯∧dxin\begin{split} dy_1\wedge dy_2 \wedge \dots \wedge dy_n = \sum_{i_1\neq i_2\neq \dots \neq i_n} \frac{\partial f_1}{\partial x_{i_1}}\cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_{i_2}}\dots \frac{\partial f_n}{\partial x_{i_n}}\cdot dx_{i_1}\wedge dx_{i_2} \wedge \dots \wedge dx_{i_n} \end{split}

此时我们引入**“逆序数”**的概念（具体的定义可以参考一般的线性代数教材，这里不作说明）

dxi1∧dxi2∧⋯∧dxin=(−1)τ(i1i2…in)⋅dx1∧dx2∧⋯∧dxndx_{i_1}\wedge dx_{i_2} \wedge \dots \wedge dx_{i_n} = (-1)^{\tau(i_1 i_2 \dots i_n)}\cdot dx_1\wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n

这样可以把dx1,dx2,…,dxndx_1,dx_2,\dots,dx_n间外积的顺序统一成dx1∧dx2∧⋯∧dxndx_1\wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n，于是

dy1∧dy2∧⋯∧dyn=∑i1≠i2≠…≠in∂f1∂xi1⋅∂f2∂xi2…∂fn∂xin⋅(−1)τ(i1i2…in)⋅dx1∧dx2∧⋯∧dxn=(∑i1≠i2≠…≠in(−1)τ(i1i2…in)⋅∂f1∂xi1⋅∂f2∂xi2…∂fn∂xin⋅)dx1∧dx2∧⋯∧dxn\begin{split} &dy_1\wedge dy_2 \wedge \dots \wedge dy_n \\ &= \sum_{i_1\neq i_2\neq \dots \neq i_n} \frac{\partial f_1}{\partial x_{i_1}}\cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_{i_2}}\dots \frac{\partial f_n}{\partial x_{i_n}}\cdot (-1)^{\tau(i_1 i_2 \dots i_n)}\cdot dx_1\wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n \\ &= \left( \sum_{i_1\neq i_2\neq \dots \neq i_n} (-1)^{\tau(i_1 i_2 \dots i_n)}\cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_{i_1}}\cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_{i_2}}\dots \frac{\partial f_n}{\partial x_{i_n}}\cdot \right) dx_1\wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n \end{split}

此时我们引入**”行列式“**的概念，把上式圆括号中的内容记作

det(∂fi∂xj)或者∣∂f1∂x1∂f1∂x2…∂f1∂xn∂f2∂x1∂f2∂x2…∂f2∂xn⋮⋮⋮∂fn∂x1∂fn∂x2…∂fn∂xn∣det \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right) 或者 \left| \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_n}{\partial x_n}\\ \end{matrix} \right|

于是

dy1∧dy2∧⋯∧dyn=∣∂f1∂x1∂f1∂x2…∂f1∂xn∂f2∂x1∂f2∂x2…∂f2∂xn⋮⋮⋮∂fn∂x1∂fn∂x2…∂fn∂xn∣⋅dx1∧dx2∧⋯∧dxndy_1\wedge dy_2 \wedge \dots \wedge dy_n = \left| \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_n}{\partial x_n}\\ \end{matrix} \right| \cdot dx_1\wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n

可以看到det(∂fi∂xj)det \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right)实际上是在表示变换前后的有向面积dx1∧dx2∧⋯∧dxndx_1\wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n和dy1∧dy2∧⋯∧dyndy_1\wedge dy_2 \wedge \dots \wedge dy_n之间的关系，这个关系包括方向和大小。

几点说明

【行列式的定义】： n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和

通过上面的过程你应该体会到在行列式的定义中

**（1）【逆序数】**的引入是必要的

通过引入逆序数的概念把

dxi1∧dxi2∧⋯∧dxindx_{i_1}\wedge dx_{i_2} \wedge \dots \wedge dx_{i_n}

的定向统一成

dx1∧dx2∧⋯∧dxndx_1\wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n

两者相差一个 +/−+/- 号，正负号由逆序数判定。

**（2）【不同行】**的要求是必须的

由最开始的式子

(∑j=1n∂f1∂xjdxj)∧(∑j=1n∂f2∂xjdxj)∧⋯∧(∑j=1n∂fn∂xjdxj)\small \left(\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_1}{\partial x_j}dx_j \right) \wedge \left(\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_2}{\partial x_j}dx_j \right) \wedge \dots \wedge \left(\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_n}{\partial x_j}dx_j \right)

可以看到，同行的元素在同一个括号里面，不能相乘，所以不同行的要求是必须的。

**（3）【不同列】**的要求是合理的

因为同列的元素对应的是同方向的矢量微元，同方向的矢量做外积=0=0 ，所以要求不同列。

举个例子

[例] 求双曲线xy=p,xy=qx y=p, x y=q与直线y=ax,y=bxy=ax, y=b x在第一象限所围图形的面积

example

令xy=u,y/x=vxy = u, y/x = v，即作变换

{x=u/vy=uv\begin{cases} x = \sqrt{u/v}\\ y = \sqrt{uv} \end{cases}

变换前后微分间的关系为：

[dxdy]=[12uv−12uv312vu12uv][dudv]\begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2\sqrt{uv}} & -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{u}{v^3}} \\ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{v}{u}} & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{u}{v}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix}

在x−yx-y坐标系内关于区域DD求积分，变换到u−vu-v坐标系内关于D′D'求积分，两者带方向的面积微元间的关系为：

dx∧dy=(12uvdu+−12uv3dv)(12vudu+12uvdv)=∣12uv−12uv312vu12uv∣du∧dv=12vdu∧dv⇒∣dx∧dy∣=∣12vdu∧dv∣⇒dxdy=∣12v∣dudv\begin{split} dx\wedge dy &= \left( \frac{1}{2\sqrt{uv}}du + -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{u}{v^3}}dv \right) \left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{v}{u}}du + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{u}{v}}dv \right) \\ &= \left| \begin{matrix} \frac{1}{2\sqrt{uv}} & -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{u}{v^3}} \\ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{v}{u}} & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{u}{v}} \end{matrix} \right| du\wedge dv \\ &= \frac{1}{2v}du\wedge dv \\ &\Rightarrow \left| dx\wedge dy \right| = \left| \frac{1}{2v}du\wedge dv \right| \\ &\Rightarrow dxdy = \left| \frac{1}{2v}\right| dudv \end{split}

注意这里取绝对值是为了去掉了由定向不同而产生的符号，于是

SD=∬Ddxdy=∬D′∣12v∣dudv=∫pqdu∫ab12vdv=12(q−p)lnbb\begin{split} S_D &=\iint \limits_{D} dxdy =\iint \limits_{D'} \left| \frac{1}{2v}\right| dudv\\ &=\int_{p}^{q}du\int_{a}^{b}\frac{1}{2v}dv =\frac{1}{2}(q-p)ln\frac{b}{b} \end{split}

在这个例子中

dxdy=∂(x,y)∂(u,v)dudv\large dxdy = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}dudv \\

其中 ∂(x,y)∂(u,v)=12v\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\frac{1}{2v}，在区域 DD 中，∂(x,y)∂(u,v)>0\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}>0， x−yx-y 坐标系与 u−vu-v 坐标系的定向相同，它们面积微元间的比例系数为∂(x,y)∂(u,v)=12v\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\frac{1}{2v} （这里不是一个线性变换，所以不同位置的比例系数不一样；如果是一个线性变换，那么∂(x,y)∂(u,v)\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} 将对应一个常矩阵的行列式，为常数）