矩阵对角化

定义 $n$阶矩阵$A$和$B$是相似的, 如果存在$n$阶可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP = B$, 记作$A\sim B$

定理1 $n$阶矩阵$A$相似于一个对角矩阵, 充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量.

证明:

$\Rightarrow: $ 设$A\sim \Lambda$, $\Lambda=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$, 即存在$n$阶可逆矩阵$P = \{p_1,\cdots,p_n\}$, 使得$P^{-1}AP = \Lambda$. 得到$AP = P\Lambda$, 即$Ap_i = \lambda_i p_i, i=1,\cdots,n$, 所以$p_1,\cdots,p_n$是$A$的特征向量, 其对应的特征值分别是$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$.并且由于$P$是可逆矩阵, 所以它的列向量空间是满秩的, $p_1,\cdots,p_n$是线性无关的.

$\Leftarrow:$ 反过来设$A$有$n$个线性无关的特征向量, $Ap_i = \lambda_i p_i, i=1,\cdots,n$, 则取这$n$个向量构成矩阵$P = \{p_1,\cdots,p_n\}$, 那么有$AP = P\Lambda \Leftrightarrow P^{-1}AP = \Lambda$, 得到$A$相似于对角矩阵$\Lambda$.

定理2 属于不同特征值的特征向量是线性无关的